Question

如图，已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，E、F、G分别是PD、PC、BC的中点．
（1）求证：直线EG∥平面PAB；
（2）若平面PAD⊥平面ABCD，M是线段CD上任一点，求三棱锥M-EFG的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）取PA的中点N，连接EN，BN，证明四边形ENBG为平行四边形，可得EG∥BN，从而证明直线EG∥平面PAB；
（2）CD上的点M到平面EFG的距离等于D到平面EFG的距离，可得V_M-EFG=V_D-EFG．

解答： （1）证明：取PA的中点N，连接EN，BN，则
∵E，N为PD，PA的中点，
∴EN∥AD，EN=

1

2

AD，
∵BG∥AD，BG=

1

2

AD，
∴BG∥EN，BG=EN，
∴四边形ENBG为平行四边形，
∴EG∥BN，EG=BN，
∵BN?平面PAB，EG?平面PAB，
∴直线EG∥平面PAB；
（2）解：∵CD∥EF，∴CD∥平面EFG，
故CD上的点M到平面EFG的距离等于D到平面EFG的距离，∴V_M-EFG=V_D-EFG，
取AD的中点H，连接EH，HG，则EF∥GH，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊥AD，
∴CD⊥平面PAD，
∵EF∥CD，EF⊥平面PAD，EH?平面PAD，
∴EF⊥EH，
∴S_△EFG=S_△EFH=

1

2

EF•EH=2
∵平面EFGH⊥平面PBD，平面EFGH∩平面PBD=EH，
∴D到平面EFG的距离即三角形EHD的高，等于

3

∴V_M-EFG=V_D-EFG=

2 3

3

点评：此题考查直线与平面平行的判断及三棱锥M-EFG的体积，考查学生分析解决问题的能力，正确运用线与平面平行的判断是关键．