Question

设椭圆

x2

2

+

y2

b2

=1（b＞0）的右焦点为F，F（1，0）
（1）求b的值
（2）过点（-2，0）作直线L与椭圆交于A、B两点，线段AB中点为M，|MF|=

53

3

，求直线L方程．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用椭圆a，b，c的关系，可求b的值
（2）设直线方程为y=k（x+2），代入椭圆方程，利用韦达定理，求出M的坐标，利用|MF|=

53

3

，求出k，即可求直线L方程．

解答： 解：（1）∵椭圆

x2

2

+

y2

b2

=1（b＞0）的右焦点为F，F（1，0），
∴2-b²=1，
∴b=1；
（2）设直线方程为y=k（x+2），代入椭圆方程

x2

2

+y²=1，可得（1+2k²）x²+8k²x+8k²-2=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-

8k2

1+2k2

，x₁x₂=

8k2-2

1+2k2

，
∵线段AB中点为M，
∴M（-

4k2

1+2k2

，

2k

1+2k2

），
∵|MF|=

53

3

，
∴

(- 4k2 1+2k2 -1)2+ 4k2 (1+2k2)2

=

53

3

，
∴28k⁴-17k²-11=0，
∴k=±1，
∴直线L方程为y=±（x+2）．

点评：本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，确定M的坐标是关键．