Question

用数学归纳法证明：-1+3-5+…+（-1）ⁿ（2n-1）=（-1）ⁿn．

Answer 1

考点：数学归纳法

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：首先证明当n=1时等式成立，再假设n=k时等式成立，得到等式1+3+5+…+（2k-1）=k²，下面证明当n=k+1时等式左边=1+3+5+…+（2k-1）+（2k+1），根据前面的假设化简即可得到结果，最后得到结论．

解答： 证明：（1）当n=1时，左边=-1，右边=-1，
∴左边=右边
（2）假设n=k时等式成立，即：-1+3-5+…+（-1）^k（2k-1）=（-1）^kk；
当n=k+1时，等式左边=-1+3-5+…+（-1）^k（2k-1）+（-1）^k+1（2k+1）
=（-1）^kk+（-1）^k+1（2k+1）
=（-1）^k+1．（-k+2k+1）
=（-1）^k+1（k+1）．
这就是说，n=k+1时，等式成立．
综上（1）（2）可知：-1+3-5+…+（-1）ⁿ（2n-1）=（-1）ⁿn对于任意的正整数成立．

点评：本题考查用数学归纳法证明等式成立，用数学归纳法证明问题的步骤是：第一步验证当n=n₀时命题成立，第二步假设当n=k时命题成立，那么再证明当n=k+1时命题也成立．本题解题的关键是利用第二步假设中结论证明当n=k+1时成立，本题是一个中档题目．