Question

某农场预算用5600元购买单价为50元（每吨）的钾肥和20元（每吨）的氮肥，希望使两种肥料的总数量（吨）尽可能的多，但氮肥数不少于钾肥数，且不多于钾肥数的1.5倍．
（1）设买钾肥x吨，买氮肥y吨，按题意列出约束条件、画出可行域，并求钾肥、氮肥各买多少才行？
（2）设点P（x，y）在（1）中的可行域内，求t=

y+20

x-10

的取值范围．

Answer 1

考点：简单线性规划的应用

专题：数形结合

分析：（1）题意得约束条件，画出可行域，数形结合的方法得到结果；（Ⅱ）t=

y+20

x-10

表示（Ⅰ）中可行域内动点P（x，y）与定点B（10，-20）连线的斜率，利用几何意义解决．

解答： 解：（Ⅰ）设肥料总数为z，z=x+y，由题意得约束条件

x≤y y≤1.5x 50x+20y≤5600 x≥0 y≥0

，即

x≤y y≤ 3 2 x 5x+2y≤560 x≥0 y≥0

-----（2分）
画出可行域（如图）-------（4分）
目标函数：z=x+y，即y=-x+z，
表示斜率为-1，y轴上截距为z的平行直线系．
当直线过点N时，z最大．
联立方程

y= 3 2 x 5x+2y=560

，解得N（70，105）
此时z_max=x+y=70+105=175．∴购买钾肥70吨，氮肥105吨时，两种肥料的总数量最大为175吨------（7分）
（Ⅱ）t=

y+20

x-10

表示（Ⅰ）中可行域内动点P（x，y）与定点B（10，-20）连线的斜率．
联立方程

y=x 5x+2y=560

，解得M（80，80）kBO=

-20-0

10-0

=-2，kNO=

80-(-20)

80-10

=

10

7

，∴t∈(-∞，-2]∪[

10

7

，+∞)--------------（9分）

点评：本题考查的是线性规划中的应用问题，t=

y+20

x-10

的几何意义，数形结合是解决此类问题的关键．