Question

已知数列{a_n}的每一项都为正数，a₁=

1

2

，a₂=

4

5

，且对满足s+t=p+q的正整数s，t，p，q，都有

as+at

(1+as)(1+at)

=

ap+aq

(1+ap)(1+aq)

．记b_n=

1-an

1+an

．
（1）证明：数列{b_n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列递推式,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）法1：根据递推关系求出

bn+1

bn

是常数，即可证明数列{b_n}是等比数列；
法2：利用等比数列的性质去证明等比数列．
（2）根据数列{b_n}是等比数列，先求出{b_n}的通项公式，然后即可求数列{a_n}的通项公式．

解答： 解：（1）证法一：
由已知

a2+an

(1+a2)(1+an)

=

a1+an+1

(1+a1)(1+an+1)

，代入a1=

1

2

，a2=

4

5

可得

4+5an

9(1+an)

=

1+2an+1

3(1+an+1)

⇒5-

1

1+an

=6-

3

1+an+1

⇒

3

1+an+1

=

1

1+an

+1⇒an+1=

2an+1

an+2

由定义对任意的n∈N^*，

bn+1

bn

=

1-an+1

1+an+1

•

1+an

1-an

=

1- 2an+1 an+2

1+ 2an+1 an+2

•

1+an

1-an

=

1-an

3(1+an)

•

1+an

1-an

=

1

3

从而数列{b_n}是以

1

3

为公比的等比数列．
证法二：
由bn=

1-an

1+an

⇒an=

1-bn

1+bn

代入已知可得

1-bs 1+bs + 1-bt 1+bt

(1+ 1-bs 1+bs )(1+ 1-bt 1+bt )

=

1-bp 1+bp + 1-bq 1+bq

(1+ 1-bp 1+bp )(1+ 1-bq 1+bq )

，
整理得到(

1-bs

1+bs

+

1-bt

1+bt

)(1+bs)(1+bt)=(

1-bp

1+bp

+

1-bq

1+bq

)(1+bp)(1+bq)⇒bs•bt=bp•bq，
即对满足s+t=p+q的正整数s，t，p，q，均有b_s•b_t=b_p•b_q，符合等比数列性质，又通过取特殊值可得

bn+1

bn

=

b2

b1

=

1

3

．从而数列{b_n}是以

1

3

为公比的等比数列．
（2）经计算b1=

1-a1

1+a1

=

1- 1 2

1+ 1 2

=

1

3

，
从而bn=(

1

3

)n⇒an=

1-bn

1+bn

=

3n-1

3n+1

，n∈N*

点评：本题主要考查等比数列的证明以及数列通项公式的计算，利用数列的递推关系是解决本题的关键．