Question

已知数列{a_n}是一个等差数列，其前n项和为S_n，且a₂=1，S₅=-5．
（Ⅰ）求通项公式a_n；
（Ⅱ）求数列前n项和S_n，并求出S_n的最大值．
（Ⅲ）求数列{|a_n|}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）利用等差数列通项公式解方程组；（Ⅱ）等差数列求和公式；（Ⅲ）利用等差数列求和公式；注意对项的符号的判断．

解答： 解：（Ⅰ）设{a_n}的公差为d，由已知条件，

a1+d=1 5a1+10d=-5

，解出a₁=3，d=-2．
所以a_n=a₁+（n-1）d=-2n+5．                             …（4分）
（Ⅱ）Sn=na1+

n(n-1)

2

d=-n2+4n=4-（n-2）²．           …（6分）
所以n=2时，S_n取到最大值4．                              …（8分）
（Ⅲ）令a_n=-2n+5＞0，则n＜

5

2

．∴|an|=

an    (1≤n≤2) -an  (n≥3)

当1≤n≤2时，Tn=a1+a2+…+an=-n2+4n…（10分）
当n≥3时，Tn=a1+a2-(a3+a4+…+an)=S2-(Sn-S2)=2S2-Sn=n2-4n+8
综上所述：Tn=

-n2+4n   (1≤n≤2) n2-4n+8 (n≥3)

…（12分）

点评：本题考查了等差数列的通项公式，求和公式的应用，注意题目条件，确定数列的特点是关键．