Question

设数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和为S_n，且2a_n+1、S_n、-a₂成等差数列，其中（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）数列{b_n}满足：b_n=

an

(an+1-18)(an+2-18)

，记数列{b_n}的前n项和为T_n，求T_n及数列{T_n}的最大项．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知得2S_n=2a_n+1-a₂，所以2S_n-2S_n-1=2a_n+1-2a_n，a_n+1=2a_n，由此能导出an=2n-1．
（Ⅱ）b_n=

an

(an+1-18)(an+2-18)

=

1

2

(

1

2n-18

-

1

2n+1-18

)，由此能求出数列{T_n}的最大项．

解答： （本题满分15分）
解：（Ⅰ） 由2a_n+1、S_n、-a₂成等差数列，知2S_n=2a_n+1-a₂，…（1分）
当n≥2时，2S_n-1=2a_n-a₂，
所以2S_n-2S_n-1=2a_n+1-2a_n，a_n+1=2a_n，…（4分）
当n=1时，由2a₁=2a₂-a₂得a₂=2a₁，…（5分）
综上知，对任何n∈N^*，都有a_n+1=2a_n，又a₁=1，
所以a_n≠0，

an+1

an

=2．…（6分）
所以数列{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，
所以an=2n-1．…（7分）
（Ⅱ）b_n=

an

(an+1-18)(an+2-18)

=

2n-1

(2n-18)(2n+1-18)

=

1

2

(

1

2n-18

-

1

2n+1-18

)，…（10分）
所以T_n=

1

2

（

1

2-18

-

1

22-18

+

1

22-18

-

1

23-18

+…+

1

2n-18

-

1

2n+1-18

）
=

1

2

(

1

2-18

-

1

2n+1-18

)=

1

2

(-

1

16

-

1

2n+1-18

)，…（12分）
T_n+1-T_n=

1

2

(

1

2n+1-18

-

1

2n+2-18

)=

2n-1

(2n+1-9)(2n+1-18)

，
当n≤2时，T_n+1＞T_n，即0＜T 1 ＜T₂＜T₃，
当n≥4时，也有T_n+1＞T_n，但T_n＜0；
当n=3时，T_n+1-T_n＜0，T_n+1＜T_n，
即T₄＜T₃．
所以数列{T_n}的最大项是T3=

7

32

．…（15分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和及前n项和的最大值的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．