Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=3a_n+1．
（1）证明{a_n+

1

2

}是等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）在a_n+1=3a_n+1中两边加

1

2

，易知数列{an+

1

2

}是以3为公比，以a1+

1

2

=

3

2

为首项的等比数列，从而可求{a_n}的通项公式；
（2）由（1）知a_n=

3n-1

2

，利用分组求和法即可求得数列{a_n}的前n项和S_n．

解答： 解：（1）在a_n+1=3a_n+1中两边加

1

2

：an+

1

2

=3(an-1+

1

2

)，…2分
可见数列{an+

1

2

}是以3为公比，以a1+

1

2

=

3

2

为首项的等比数列．…4分
故an=

3

2

×3n-1-

1

2

=

3n-1

2

．…6分
（2）S_n=a₁+a₂+…+a_n
=

31-1

2

+

32-1

2

+…+

3n-1

2

=

1

2

（3+3²+…+3ⁿ）-

1

2

•n
=

1

2

•

3(1-3n)

1-3

-

n

2

=

3n+1-2n-3

4

…12分

点评：本题考查数列的求和，考查等比关系的确定，求得a_n=

3n-1

2

是关键，属于中档题．