Question

设数列{a_n}的前n项和S_n=-

n2

2

+

k

2

n，且S₁₄=S₁₁，n∈N^*．
（Ⅰ）求k的值及数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{|a_n|}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知得-

196

2

+7k=-

121

2

+

11

2

k，解得k=25．从而Sn=-

n2

2

+

25

2

n，由此求出a_n=13-n．
（Ⅱ）由a_n=13-n≥0，得n≤13，从而n≤13时，T_n=S_n；当n＞13时，T_n=-S_n+2S₁₃，由此能求出数列{|a_n|}的前n项和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵数列{a_n}的前n项和S_n=-

n2

2

+

k

2

n，且S₁₄=S₁₁，
∴-

196

2

+7k=-

121

2

+

11

2

k，
解得k=25．
∴Sn=-

n2

2

+

25

2

n，
∴a1=S1=-

1

2

+

25

2

=12，
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（-

n2

2

+

25

2

n）-[-

(n-1)2

2

-

25

2

(n-1)]=-n+13．
n=1时也成立，
∴a_n=13-n．
（Ⅱ）∵a_n=13-n≥0，得n≤13，
∴n≤13时，数列{|a_n|}的前n项和
T_n=S_n=-

n2

2

+

25

2

n；
当n＞13时，T_n=-S_n+2S₁₃=

n2

2

-

25

2

n+494．
∴T_n=

- n2 2 + 25 2 n，n≤13 n2 2 - 25 2 n+494，n＞13

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．