Question

计算求值：
（1）计算

∫

π 2 0

（sin

x

2

+cos

x

2

）²dx；
（2）已知复数z满足z•

.

z

-i（

.

3z

）=1-（

.

3i

），求z．

Answer 1

考点：复数代数形式的混合运算,微积分基本定理

专题：数系的扩充和复数

分析：（1）把被积函数平方，然后展开，求出各被积函数的原函数，分别代入积分上限和下限后作差得答案；
（2）设出复数z，代入z•

.

z

-i（

.

3z

）=1-（

.

3i

），由复数相等的条件列式求解．

解答： 解：（1）

∫

π 2 0

(sin

x

2

+cos

x

2

)2dx
=

∫

π 2 0

(1+sinx)dx
=

∫

π 2 0

dx+

∫

π 2 0

sinxdx
=

π

2

+[-cos

π

2

-(-cos0)]
=

π

2

+1；
（2）设z=a+bi（a，b∈R），
则由z•

.

z

-i（

.

3z

）=1-（

.

3i

），得
a²+b²-i[3（a-bi）]=1+3i．
∴a²+b²-3b-3ai=1+3i．
∴

a2+b2-3b=1 -3a=3

．
解得：

a=-1 b=0

　或

a=-1 b=3

．
∴z=-1或-1+3i．

点评：本题考查了微积分基本定理，考查了复数相等的条件，是基础的计算题．