Question

已知数列{a_n}是首项为1，公差为d的等差数列；数列{b_n}是公比为2的等比数列，且{b_n}的前4项的和为

15

2

．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）若d=3，求数列{a_n}中满足b₈≤a_i≤b₉（i∈N^*）的所有项a_i的和；
（3）设数列{c_n}满足c_n=a_n•b_n，数列{c_n}的前n项和为T_n，若T_n的最大值为T₅，求公差d的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和,数列的应用

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件得b₁+2b₁+4b₁+8b₁=

15

2

，由此能求出b_n=2^n-2．
（2）b₈=2⁶=64，b₉=2⁷=128，a_n=3n-2，由b₈≤a_i≤b₉（i∈N^*），得64≤3i-2≤128，从而得到22≤i≤43，由此能求出满足条件的所有项a_i的和．
（3）由已知条件得c_n=a_n•b_n＞0，此时T_n无最大项，d＜0，{a_n}单调递减，由此能求出公差d的取值范围．

解答： 解：（1）∵数列{b_n}是公比为2的等比数列，且{b_n}的前4项的和为

15

2

．
b₁+2b₁+4b₁+8b₁=

15

2

，
解得b₁=

1

2

，
∴b_n=2^n-2．…（5分）
（2）b₈=2⁶=64，b₉=2⁷=128，
∵数列{a_n}是首项为1，公差为3的等差数列，
∴a_n=3n-2
∵b₈≤a_i≤b₉（i∈N^*），∴64≤3i-2≤128，
解得，22≤i≤

130

3

，
又i属于N^*，22≤i≤43，
a₂₂=64，a₄₃=127，
∴S=a₂₂+a₂₃+…+a₄₃
=

22

2

（64+127）=2101，
∴满足条件的所有项a_i的和为2101．…（12分）
（3）∵bn=2n-1＞0，若d≥0，则a_n＞0，
∴c_n=a_n•b_n＞0，此时T_n无最大项，
∴d＜0，…（12分）
此时{a_n}单调递减，欲T_n的最大项为T₅，
则必有c₅≥0，c₆≤0，即a₅≥0，a₆≤0，…（14分）
又a_n=1+（n-1）d，∴

1+4d≥0 1+5d≤0

，
解得-

1

4

≤d≤-

1

5

．…（16分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．