Question

设函数f（x）=2x³-9x²+12x分别在x₁，x₂处取得极小值，极大值．xoy平面上点A，B的坐标分别是（x₁，f（x₁）），（x₂，f（x₂））．
（1）求点A，B的坐标；
（2）该平面上动点P满足

PA

•

PB

=4，求P点的轨迹方程．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,轨迹方程

专题：导数的概念及应用

分析：（1）先求出f′（x）=6x²-18x+12=0，得f（x）在（-∞，1），（2，+∞）递增，在（1，2）递减，从而x=1是极大值点，x=2是极小值点，进而求出A（2，4），B（1，5）；
（2）设P（x，y），则

PA

=（2-x，4-y），

PB

=（1-x，5-y），从而

PA

•

PB

=（2-x）（1-x）+（4-y）（5-y）=4，化简得：(x-

3

2

)2+(y-

9

2

)2=

9

2

，进而求出P点的轨迹方程．

解答： 解：（1）f′（x）=6x²-18x+12=0，
令f′（x）＞0，解得：x＜1，x＞2，
令f′（x）＜0，解得：1＜x＜2，
∴f（x）在（-∞，1），（2，+∞）递增，在（1，2）递减，
∴x=1是极大值点，x=2是极小值点，
∴x₁=2，f（x₁ ）=4，x₂=1，f（x₂ ）=5，
∴A（2，4），B（1，5）；
（2）设P（x，y），则

PA

=（2-x，4-y），

PB

=（1-x，5-y），
∴

PA

•

PB

=（2-x）（1-x）+（4-y）（5-y）=4，
化简得：(x-

3

2

)2+(y-

9

2

)2=

9

2

，
∴P是以（

3

2

，

9

2

）为圆心，以

3 2

2

为半径的圆．

点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，向量的运算，是一道基础题．