Question

如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，当E、F分别在线段AD、BC上，且EF⊥BC，AD=4，CB=6，AE=2．现将梯形ABCD沿EF折叠，如图2，使平面ABFE与平面EFCD垂直．
（1）判断直线AD与BC是否共面，并证明你的结论；
（2）当直线AC与面EFCD所成角的正切值为多少时，二面角A-DC-E的大小是60°？

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）利用反证法证明AD、BC是异面直线；（2）先证明∠AHE是二面角A-DC-E的平面角，再求∠AHE的正切值．

解答： 解：（1）AD、BC是异面直线，（1分）
（反证法）假设AD、BC共面为α．
∵EF⊥BC，∠ABC=90°，∴EF⊥AB，EF?α，AB?α．
∴EF⊥α，又EFCD∩α=CD∴EF⊥CD，∴CD⊥AB．
这与ABCD为梯形矛盾．故假设不成立．即AD、BC是异面直线．…（6分）
（2）延长CD，FE相交于N，由已知∴ED=2，CF=4设AB=x则△NDE中，NE=x，
∵AE⊥EF，平面ABFE平面EFCD，
∴AE⊥平面EFCD．过E作EH⊥DN于H，连结AH，
则AH⊥DN．∴∠AHE是二面角A-DC-E的平面角，
则∠AHE=60°．∵NE=x，DE=2，∴HE=

2x

x2+4

，AE=2，
∴tan∠AHE=

AE

EH

=

x2+4

x

=

3

x²=2，x=

2

，
此时在△EFC中，EF=

2

，FC=4∴EC=3

2

．又AE⊥平面EFCD，
∴∠ACE是直线AC与平面EFCD所成的角，
∴tan∠ACE=

AE

EC

=

2

3 2

=

2

3

．
即当直线AC与平面EFCD所成角的正切值为

2

3

时，二面角A-DE-E的
大小为60°．

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，异面直线的判定，其中（1）中反证法关键是由假设结论不成立，推理后得到矛盾，直接法是要熟练掌握异面直线的判定定理，（2）的关键是找出∠AHE是二面角A-DC-E的平面角，∠ACE是直线AC与平面EFCD所成的角．