Question

已知函数f（x）=e^x-ax-1．
（1）求f（x）的单调增区间；
（2）是否存在a，使f（x）在（-2，3）上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的概念及应用

分析：（1）先求出函数的导数，再讨论①若a≤0，②若a＞0的情况，从而求出单调区间；
（2）由f′（x）=e^x-a≤0在（-2，3）上恒成立．从而a≥e^x在x∈（-2，3）上恒成立，从而f（x）在（-2，3）上为减函数，得a≥e³．故存在实数a≥e³，使f（x）在（-2，3）上单调递减．

解答： 解　f′（x）=e^x-a，
（1）若a≤0，则f′（x）=e^x-a≥0，
即f（x）在R上递增，
若a＞0，e^x-a≥0，∴e^x≥a，x≥ln a．
因此f（x）的递增区间是[lna，+∞）．
（2）由f′（x）=e^x-a≤0在（-2，3）上恒成立．
∴a≥e^x在x∈（-2，3）上恒成立．
又∵-2＜x＜3，∴e^-2＜e^x＜e³，只需a≥e³．
当a=e³时f′（x）=e^x-e³在x∈（-2，3）上，f′（x）＜0，
即f（x）在（-2，3）上为减函数，
∴a≥e³．
故存在实数a≥e³，使f（x）在（-2，3）上单调递减．

点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，求参数的范围，是一道基础题．