Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，ABCD是平行四边形，M，N分别是AB，PC的中点．
1）求证：MN∥平面PAD．
2）若PD⊥AD，PD=

3

，AD=1，求异面直线MN和BC所成的角．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,异面直线及其所成的角

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：1）取CD的中点E，连接ME，NE．利用三角形中位线定理得到NE∥平面PAD．由四边形ABCD是平行四边形，得四边形AMED是平行四边形，从而得到ME∥平面PAD．由此证明平面MNE∥平面PAD，从而MN∥平面PAD．
2）由已知条件得∠EMN是异面直线MN和BC所成的角，由此能求出异面直线MN和BC所成的角．

解答： 1）证明：取CD的中点E，连接ME，NE．
由N是线段CP的中点，利用三角形的中位线定理可得NE∥PD，
∵NE?平面PAD，PD?平面PAD，
∴NE∥平面PAD．
由M是线段AB的中点，E是CD的中点，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形AMED是平行四边形，
∴ME∥AD，可得ME∥平面PAD．
又ME∩EN=E，∴平面MNE∥平面PAD，
∴MN∥平面PAD．
2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，四边形AMED是平行四边形，
∴ME∥BC，∴∠EMN是异面直线MN和BC所成的角，
∵PD⊥AD，PD=

3

，AD=1，
∴NE⊥ME，NE=

1

2

PD=

3

2

，EM=1，
∴tan∠EMN=

NE

EM

=

3

2

，
∴异面直线MN和BC所成的角为arctan

3

2

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查异面直线所成的角的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．