Question

（1）已知0＜x＜

4

3

，求x（4-3x）的最大值；
（2）已知x，y都是正实数，且x+y-3xy+5=0，求xy的最小值．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）把原式整理成

1

3

（3x）（4-3x）的形式，进而利用基本不等式求得其最大值．
（2）把原式转化为x+y+5=3xy，利用基本不等式得出关于

xy

的一元二次不等式，进而求得

xy

的范围，则xy的范围可得．

解答： 解：（1）∵0＜x＜

4

3

，
∴x（4-3x）=

1

3

（3x）（4-3x）≤

1

3

（

3x+4-3x

2

）²=

4

3

，
当且仅当3x=4-3x，即x=

2

3

时等号成立，
∴x（4-3x）的最大值为

4

3

．
（2）由x+y-3xy+5=0，得x+y+5=3xy，
∴2

xy

+5≤x+y+5=3xy，
∴3xy-2

xy

-5≥0，
解得

xy

≥

5

3

，即xy≥

25

9

，
∴xy的最小值为

25

9

．

点评：本题主要考查了基本不等式的应用．注意三个条件的同时满足．