Question

直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2

2

，∠ABC=90°，如图①把△ABD沿BD翻析，使得平面ABD⊥平面BCD．

（Ⅰ）求证：CD⊥AB；
（Ⅱ）若BN=

1

4

BC，求四面体CAND的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）先证明CD⊥BD，利用平面ABD⊥平面BCD，可得CD⊥平面ABD，利用线面垂直的性质可得CD⊥AB；
（Ⅱ）过点A做AM⊥BD，交BD于M点，利用V_C-AND=

1

3

•

1

2

CN•CDsin∠DCN•AM，即可求四面体CAND的体积．

解答： （Ⅰ）证明：由已知条件可得BD=2，CD=2，CD⊥BD，
∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD．
∴CD⊥平面ABD，
又∵AB?平面ABD，∴CD⊥AB；
（Ⅱ）解：过点A做AM⊥BD，交BD于M点，
∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，
∴AM⊥平面BCD，
由题意，CD⊥BD，∠DCN=45°
∵BN=

1

4

BC，∴NC=

3 2

2

，AM=1，
∴V_C-AND=

1

3

•

1

2

CN•CDsin∠DCN•AM=

1

3

•

3

2

•1=

1

2

．

点评：本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想．