Question

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD．
（Ⅰ）证明：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若PA=1，AD=2，求二面角B-PC-A的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由BD⊥AC，PA⊥BD，利用线面垂直的判定即可证明；（Ⅱ）作BE⊥PC，连接OE，证明∠BE0即二面角B-PC-A的平面角，后在相应的直角三角形中计算．

解答： （Ⅰ）证明：∵底面ABCD为正方形，∴BD⊥AC，PA⊥平面ABCD，PA⊥BD，AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）解：AC⊥BD=O，作BE⊥PC，连接OE，由（Ⅰ）知BD⊥平面PAC，PC?平面PAC，∴BD⊥PC，BE∩BD=B，∴PC⊥面BDE，∴OE⊥PC，∴∠BE0即二面角B-PC-A的平面角．∵底面ABCD为正方形，AD=2，∴AC=2

2

，在Rt△PAC中，PA=1，AC=2

2

，PC=3，sin∠PCA=

1

3

，在Rt△OEC中，OC=

2

，sin∠PCA=

OE

OC

，∴OE=

2

3

，在Rt△BOE中，OE=

2

3

，BO=

2

，BE=

20

3

∴cos∠BE0=

OE

BE

=

10

10

，∴二面角B-PC-A的余弦值为

10

10

．

点评：本题考查线面垂直，面面角，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．