Question

如图，已知△AOB，∠AOB=

π

2

，∠BAO=

π

6

，AB=4，D为线段AB的中点．若△AOC是△AOB绕直线AO旋转而成的．记OB绕O旋转所成角∠BOC为θ．
（1）当平面COD⊥平面AOB时，证明：OC⊥OB；
（2）若θ∈[

π

2

，

2π

3

]，求三棱锥C-AOB的体积V的取值范围．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,平面与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）在平面AOB内过B作OD的垂线，垂足为H，证明BH⊥平面COD，可得BH⊥CO，又因为OC⊥AO，BH和OA相交，所以OC⊥平面AOB，从而证明OC⊥OB；
（2）V_C-AOB=V_A-OBC=

1

3

×

1

2

×OB×OCsinθ×2

3

=

4 3

3

sinθ，利用θ∈[

π

2

，

2π

3

]，即可求三棱锥C-AOB的体积V的取值范围．

解答： （1）证明：在平面AOB内过B作OD的垂线，垂足为H，
∵平面COD⊥平面AOB，平面COD∩平面AOB=OD，
又BH⊥OD，BH?平面AOB，
则BH⊥平面COD．
又由OC?平面COD，BH⊥CO，
又因为OC⊥AO，BH和OA相交，
所以OC⊥平面AOB．
又OB?平面AOB，从而OC⊥OB．
（2）解：由题意，AO是三棱锥A-OBC的高，
在直角△AOB中，AB=4，∠AOB=

π

2

，
∴AO=ABcos

π

6

=2

3

，OC=OB=ABsin

π

6

=2，
∴V_C-AOB=V_A-OBC=

1

3

×

1

2

×OB×OCsinθ×2

3

=

4 3

3

sinθ，
∵θ∈[

π

2

，

2π

3

]，
∴

3

2

≤sinθ≤1，
∴2≤V_C-AOB≤

4 3

3

．

点评：本题考查的知识点是与二面角有关的立体几何问题，平面与平面垂直的性质，考查三棱锥体积的计算，属于中档题．