Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD为矩形，PA=PD，AD=

2

AB=2，且平面PAD⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求证：PC⊥BD；
（Ⅱ）若PB=BC，求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）取O为AD的中点，连接CO，PO，证明BD⊥OC，PO⊥BD，即可证明BD⊥平面POC，从而可得PC⊥BD；
（Ⅱ）若PB=BC，求出OP，即可求四棱锥P-ABCD的体积．

解答： （Ⅰ）证明：取O为AD的中点，连接CO，PO，如图．
则在矩形ABCD中，有

CD

DO

=

AD

AB

=

2

，可得Rt△CDO∽Rt△DAB，
则∠OCD=∠BDA，故∠OCD+∠CDB=90°，
故BD⊥OC，…（3分）
由PA=PD，O为AD中点，可得PO⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD．
则PO⊥平面ABCD，则PO⊥BD．
又OC?平面POC，PO?平面POC，则有BD⊥平面POC，
又PC?平面POC，故PC⊥BD．…（6分）
（Ⅱ）解：在矩形ABCD中，连接BO，则OB=OC=

OD2+CD2

=

12+( 2 )2

=

3

，
又PB=BC=2，则OP=

PB2-OB2

=

22-( 3 )2

=1，
则四棱锥P-ABCD的体积VP-ABCD=

1

3

S矩形ABCD•OP=

1

3

×2×

2

×1=

2 2

3

．…（12分）

点评：本题考查了线面垂直的判定定理、面面垂直的判断定理和性质定理的综合应用，以及四棱锥的体积公式的应用．