Question

已知函数f(x)=ax-

b

x+1

(a，b∈N*)，f(1)=

1

2

且f（2）＜2．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）判断并证明函数y=f（x）在区间（-1，+∞）上的单调性．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由 f(1)=a-

b

2

=

1

2

，a=

b+1

2

，f(2)=2a-

b

3

＜2，从而求出b=1，a=1；
（Ⅱ）由（1）得f(x)=x-

1

x+1

，得函数在（-1，+∞）单调递增．从而有f（x₁ ）-f（x₂ ）=(x1-x2)+

x1-x2

(x1+1)(x2+1)

=(x1-x2)[1+

1

(x1+1)(x2+1)

]，进而(x1-x2)[1+

1

(x1+1)(x2+1)

]＜0，故函数f(x)=x-

1

x+1

在（-1，+∞）上单调递增．

解答： 解：（Ⅰ）∵f(1)=a-

b

2

=

1

2

，a=

b+1

2

，
由f(2)=2a-

b

3

＜2，
∴b＜

3

2

，
又∵a，b∈N^*，
∴b=1，a=1；
（Ⅱ）由（1）得f(x)=x-

1

x+1

，
函数在（-1，+∞）单调递增．
证明：任取x₁，x₂且-1＜x₁＜x₂，
f(x1)-f(x2)=x1-

1

x1+1

-(x2-

1

x2+1

)=(x1-x2)+(

1

x2+1

-

1

x1+1

)
=(x1-x2)+

x1-x2

(x1+1)(x2+1)

=(x1-x2)[1+

1

(x1+1)(x2+1)

]，
∵-1＜x₁＜x₂，
∴x1-x2＜0，1+

1

(x1+1)(x2+1)

＞0，
∴(x1-x2)[1+

1

(x1+1)(x2+1)

]＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
故函数f(x)=x-

1

x+1

在（-1，+∞）上单调递增．

点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，求参数的范围，不等式的证明，是一样的综合题．