Question

如图所示，在四棱锥E-ABCD中，AB∥CD，∠ADC=90°，CD=3，AB=1，EA=AD=DE=2，EC=

13

．
（Ⅰ）若F是线段DC上的点，DF=2FC，求证：AF∥平面EBC；
（Ⅱ）求三棱锥E-BDC的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）证明四边形ABCF为平行四边形，可得AF∥BC，利用线面平行的判定定理，即可证明AF∥平面EBC；
（Ⅱ）取AD的中点H，连接EH、CH，证明EH⊥平面ABCD，即可求出求三棱锥E-BDC的体积．

解答： （I）证明：∵CD=3，DF=2FC，
∴FC=AB=1，又∵AB∥CD，
∴四边形ABCF为平行四边形．…（2分）
∴AF∥BC，
又∵AF?平面EBC，BC?平面EBC，
∴AF∥平面EBC．…（5分）
（II）解：取AD的中点H，连接EH、CH．
∵EA=AD=DE=2，∴△ADE为正三角形，
∴EH⊥AD，EH=

3

．…（6分）
在Rt△HDC中，CD=3，DH=1，
∴HC=

CD2+DH2

=

32+12

=

10

，
在△EHC中，EH=

3

，HC=

10

，EC=

13

，∴EC²=EH²+HC²，∴∠EHC=90°，EH⊥HC．…（8分）
又∵AD?平面ABCD，HC?平面ABCD，AD∩HC=H，∴EH⊥平面ABCD，…（10分）
∵S△BCD=

1

2

×DC×AD=

1

2

×3×2=3，
故VE-BCD=

1

3

×S△BCD×EH=

1

3

×3×

3

=

3

．…（12分）

点评：熟练掌握平行四边形的判定和性质定理、线面平行的判定定理与线面、及三棱锥体积的求法是解题的关键．