Question

观察以下各等式：
sin²30°+cos²60°+sin30°cos60°=

3

4

sin²20°+cos²50°+sin20°cos50°=

3

4

sin²15°+cos²45°+sin15°cos45°=

3

4

分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．

Answer 1

考点：归纳推理

专题：推理和证明

分析：我们可以发现等式左边余弦均为正弦度数加30°，右边是常数，由此不难得到结论

解答： 解：观察以下各式：
∵sin²30°+cos²60°+sin30°cos60°=

3

4

，sin²20°+cos²50°+sin20°cos50°=

3

4

，
∴sin²30°+cos²（30°+30°）+sin30°cos（30°+30°）=

3

4

，sin²20°+cos²（20°+30°）+sin20°cos（20°+30°）=

3

4

，
 于是根据各式的共同特点，则具有一般规律的等式可得出sin2α+cos2(α+30°)+sinαcos(α+30°)=

3

4

．
证明：左边=sin2α+cos2(α+300)+sinαcos(α+300)=

1-cos2α

2

+

1+cos(600+2α)

2

+

sin(300+2α)-sin300

2

=1+

cos(600+2α)-cos2α

2

+

1

2

[sin(300+2α)-

1

2

]
=1+

-2sin(300+2α)sin300

2

+

1

2

[sin(300+2α)-

1

2

]
=

3

4

-

1

2

sin(300+2α)+

1

2

sin(300+2α)=

3

4

=右边．

点评：本题主要考查了归纳推理，通过观察个别情况发现某些相同性质，从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想），属基础题．