Question

已知公比为整数的等比数列{a_n}中，a₁=1，a₃=2a₂+3，在等差数列{b_n}中，公差d=2，且b₁+b₂+b₃=15．
（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a_n•b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）设q为等比数列{a_n}的公比，依题意，可求得q=3，从而可得数列{a_n}的通项公式；由等差数列{b_n}的公差d=2，且b₁+b₂+b₃=15，可求得{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）由（ I）知Sn=3×1+5×3+7×32+…+(2n-1)×3n-2+(2n+1)×3n-1，3S_n=3×3+5×3²+7×3³+…+（2n-1）×3^n-1+（2n+1）×3ⁿ，利用错位相减法即可求得数列{a_n•b_n}的前n项和S_n．

解答： 解：（ I）设q为等比数列{a_n}的公比，则由a₁=1，a₃=2a₂+3，
得q²=2q+3，解得q=3或q=-1（舍去）．…（2分）
∴{a_n}的通项公式为an=a1•qn-1=3n-1．…（3分）
∵b₁+b₂+b₃=15，∴b₂=5，又d=2，∴b₁=b₂-d=3．…（5分）
∴b_n=3+2（n-1）=2n+1．…（7分）
（ II）由（ I）知Sn=3×1+5×3+7×32+…+(2n-1)×3n-2+(2n+1)×3n-1①
∴3S_n=3×3+5×3²+7×3³+…+（2n-1）×3^n-1+（2n+1）×3ⁿ②
∴①-②得-2Sn=3×1+2×3+2×32+2×33+…+2×3n-1-(2n+1)×3n
=3+2（3+3²+3³+…+3^n-1）-（2n+1）×3ⁿ
=3+2×

3(1-3n-1)

1-3

-(2n+1)×3n
=-2n•3ⁿ…（11分）
∴Sn=n•3n．…（12分）

点评：本题考查等差数列与等比数列的通项公式及其应用，突出考查错位相减法求数列的和，考查等价转化思想与运算能力，属于难题．