Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n=

Sn

n

+2（n-1），（n∈N^*），若S₁+

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

-（n-1）²=2015，则n的值为（　　）

• A、1008
• B、1007
• C、2014
• D、2015

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知条件得S_n=na_n-2n（n-1），从而推导出数列{a_n}是以1为首项，4为公差的等差数列，进而得到a_n=4n-3，所以

Sn

n

=a_n-2（n-1）=4n-3-2（n-1）=2n-1，故S₁+

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

-（n-1）²=2n-1，由此能求出结果．

解答： 解：∵数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n=

Sn

n

+2（n-1），（n∈N^*），
∴S_n=na_n-2n（n-1），
S_n-1=（n-1）a_n-2（n-1）（n-2），n≥2
S_n-S_n-1=a_n=na_n-2n（n-1）-（n-1）a_n+2（n-1）（n-2）
a_n-a_n-1=4，
又a₁=1，数列{a_n}是以1为首项，4为公差的等差数列，
a_n=1+4（n-1）=4n-3
数列{a_n}的通项公式为a_n=4n-3，

Sn

n

=a_n-2（n-1）=4n-3-2（n-1）=2n-1，
∴S₁+

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

-（n-1）²
=2（1+2+3+…+n）-n-（n-1）²
=n（n+1）-n-（n-1）²
=2n-1，
∵S₁+

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

-（n-1）²=2015，
∴2n-1=2015，
解得n=1008．
故选：A．

点评：本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．