Question

已知向量

a

=（cos（x+

π

8

），sin²（x+

π

8

）），

b

=（sin（x+

π

8

），1），函数f（x）=2

a

•

b

-1．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式，并写出函数f（x）的周期与对称中心坐标；
（Ⅱ）求函数y=f（-

1

2

x）的单调递增区间．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）先表示出f（x）的解析式，进而利用二倍角公式和两角和公式对其化简利用周期公式求得周期，根据正弦函数的图象与性质求得函数的对称中心．
（Ⅱ）先求得y的表达式，进而根据正弦函数的单调性确定函数y的单调增区间．

解答： 解：（Ⅰ）f(x)=2

a

•

b

-1=2cos(x+

π

8

)sin(x+

π

8

)+2sin2(x+

π

8

)-1=sin(2x+

π

4

)-cos(2x+

π

4

)=

2

sin2x，
周期T=

2π

ω

=

2π

2

=π，
令y=0，即

2

sin2x=0，得2x=kπ，x=

kπ

2

，k∈Z，
∴对称点为(

kπ

2

，0)，k∈Z．
（Ⅱ）∵y=f(-

1

2

x)=

2

sin(-x)=-

2

sinx，
∴sinx递减，
∴2kπ+

π

2

≤x≤2kπ+

3π

2

，k∈z，
∴y=f(-

1

2

x)的单调递增区间是[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]，k∈z．

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质．解题过程中注意运用整体的思想来解决三角函数问题．