Question

如图所示的四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为a（a＞0）的菱形，∠ABC=60°，点P在底面的射影O在DA的延长线上，且OC过边AB的中点E．
（1）证明：BD⊥平面POB；
（2）若PO=

a

2

，求三棱锥O-PAC的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）证明四边形OACB是边长为a（a＞0）的菱形，可得OB⊥BD，PO⊥底面ABCD，可得PO⊥BD，即可证明BD⊥平面POB；
（2）由等体积V_O-PAC=V_P-OAC，求三棱锥O-PAC的体积．

解答： （1）证明：连接AC，
∵四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为a（a＞0）的菱形，∠ABC=60°，
∴AC=a，
∵边AB的中点E，
∴OC⊥AB，
∵AB∥CD，
∴OC⊥CD，AE∥CD，AE=

1

2

CD，
∵∠ADC=60°，
∴A，E分别为OD，OC的中点，
连接OB，则四边形OACB是边长为a（a＞0）的菱形，
连接BD，在菱形ABCD中，AC⊥BD，∴OB⊥BD，
∵PO⊥底面ABCD，
∴PO⊥BD，
∵PO∩BO=O，
∴BD⊥平面POB；
（2）解：由等体积V_O-PAC=V_P-OAC，OC=

3

，AE=

1

2

AB=

a

2

，
∴V_O-PAC=V_P-OAC=

1

3

×

1

2

×OC×AE×PO=

1

6

×

3

a×

a

2

×

a

2

=

3 a2

24

．
∴三棱锥O-PAC的体积为

3 a2

24

．

点评：本小题主要考查直线与平面垂直的判定，以及三棱锥体积的计算等有关知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查转化思想，属于中档题．