Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=10n-n²（n∈N^*），
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=a_nxⁿ（x∈R且x≠1），求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（1）利用“当n=1时，a₁=S₁；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1即可得出a_n；
（2）利用“错位相减法”和等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： 解：（1）当n=1时，a₁=S₁=9；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=10n-n²-[10（n-1）-（n-1）²]=-2n+11．
n=1时也满足，
∴a_n=-2n+11．
（2）设数列{b_n}前n项和为T_n．
则T_n=9x+7x²+5x³+…+（-2n+11）xⁿ，
xT_n=9x²+7x³+5x⁴+…+（-2n+13）xⁿ+（-2n+11）xⁿ⁺¹
∴（1-x）T_n=9x-2x²-2x³-2x⁴-…-2xⁿ-（-2n+11）xⁿ⁺¹
∴T_n=

9x

1-x

-

2x2(1-xn-1)

(1-x)2

-

(-2n+11)•xn+1

1-x

．

点评：熟练掌握“当n=1时，a₁=S₁；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1即可得出a_n”、分类讨论、“错位相减法”和等比数列的前n项和公式等是解题的关键．