Question

如图，在几何体ABCDE中，CA=CB=2，CA⊥CB，CD⊥平面ABC，F为线段AB的中点，EF∥CD，EF=CD=

2

．
（Ⅰ）求证：平面ABE⊥平面ADE．
（Ⅱ）求几何体ABCDE的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,平面与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）证明平面ABE⊥平面ADE，只需证明DE⊥平面ABE，即证明CF⊥平面ABE，DE∥CF．
（Ⅱ）证明AB⊥平面EFCD，利用V_ABCDE=V_A-EFCD+V_B-EFCD，求几何体ABCDE的体积．

解答： （Ⅰ）证明：∵CA=CB，F为线段AB的中点，
∴CF⊥AB，
∵CD⊥平面ABC，EF∥CD，
∴EF⊥平面ABC，
∵CF?平面ABC，
∴EF⊥CF，
∵EF∩AB=F，EF⊥CF，CF⊥AB
∴CF⊥平面ABE，
∵EF∥CD，EF=CD，
∴四边形EFCD为平行四边形，
∴DE∥CF，
∴DE⊥平面ABE，
∵DE?平面ADE，
∴平面ABE⊥平面ADE；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）CF⊥AB，
∵EF⊥平面ABC，
∴EF⊥AB，CF⊥AB，EF∩CF=F，
∴AB⊥平面EFCD，
∴V_ABCDE=V_A-EFCD+V_B-EFCD=

1

3

S_EFCD×AB=

1

3

×

2

×

2

×2

2

=

4 2

3

．

点评：本题考查考查线面垂直，考查几何体的体积，解题的关键是正确线面垂直的判定方法，正确运用体积公式．