Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=

1

2

，a_n+1=

n+1

2n

a_n．
（1）求证：数列{

n

an

}是等比数列；
（2）设b_n=n（2-S_n），n∈N^*，若集合M={n|b_n≥λ，n∈N^*}恰有5个元素，求实数λ的取值范围．

Answer 1

考点：数列递推式,等比关系的确定

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得

an+1

n+1

=

1

2

•

an

n

，从而数列{

an

n

}是公比为

1

2

的等比数列，首项为

1

2

；
（2）结合等比数列的通项公式可求a_n，利用错位相减可求s_n，然后利用数列的单调性可求b_n的最大值与最小值，进而可求实数λ的取值范围．

解答： （　　）证明：∵a_n+1=

n+1

2n

a_n，
∴

an+1

n+1

=

1

2

•

an

n

，
∴数列{

an

n

}是公比为

1

2

的等比数列，首项为

1

2

；
（2）解：由（1）知

an

n

=

1

2n

，
∴a_n=

n

2n

，
∴S_n=

1

2

+

2

22

+…+

n

2n

∴

1

2

S_n=

1

22

+

2

23

+…+

n

2n+1

两式相减可得S_n=2-

n+2

2n

因此，b_n=n（2-S_n）=

n(n+2)

2n

，
∴b_n+1-b_n=

-n2+3

2n+1

∴当n=1，b₂-b₁＞0即b₂＞b₁，
n＞2时，b_n+1-b_n＜0即b_n+1-b_n＜0，
∵b₁=

3

2

，b₂=2，b₃=

15

8

，b₄=

3

2

，b₅=

35

32

，b₆=

3

4

∴要使得集合M有5个元素，实数λ的取值范围为

3

4

＜λ≤

35

32

．

点评：本题主要考查了等比数列的定义及通项公式求解的应用，数列的错位相减求和方法的应用，及数列单调性在求解数列的最值求解中的应用，试题具有一定的综合性