Question

已知数列{a_n}中，a₁≠0，2a_n=a₁（1+S_n）（n∈N^*），S_n为数列{a_n}的前n项和．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）设b_n=nS_n，求数列{b_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件推导出a₁=1，2a_n-2a_n-1=（1+S_n）-（1+S_n-1）=a_n，由此得到an=2n-1．
（2）由an=2n-1，得Sn=2n-1，从而bn=n×2n-n，由此利用公组求和法能求出数列{b_n}的前n项和为T_n．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}中，a₁≠0，2a_n=a₁（1+S_n）（n∈N^*），
当n=1时，2a₁=a₁（1+S₁）=a₁（1+a₁），
∵a₁≠0，∴a₁=1，
当n＞1时，则2a_n=1+S_n，
∴2a_n-2a_n-1=（1+S_n）-（1+S_n-1）=a_n，∴a_n=2a_n-1，
∴{a_n}是首项a₁=1、公比q=2等比数列，
∴an=2n-1．…（6分）
（2）由（1）得an=2n-1，
S_n为数列{a_n}的前n项和，
S_n=

1-2n

1-2

，
∴Sn=2n-1，
∴bn=n×2n-n，…（7分）
∴Tn=(n-1)×2n+1+2-

n(n+1)

2

．…（12分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．