Question

如图，三棱柱ADF-BCH中，侧面ABCD是菱形，FA=FD，∠BAD=60°，E是AD的中点，点Q在线段FC上．
（Ⅰ）求证：AD⊥平面EFB；
（Ⅱ）若Q是FC的中点，求证：FA∥平面BDQ
（Ⅲ）若V_F-BCDE=2V_Q-ABCD，试求

CF

CQ

的值．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）利用线面垂直的判定证明，关键是证明AD⊥FE，AD⊥BE；
（Ⅱ）连接AC交BD于点O，连结OQ，利用三角形的中位线定理证明OQ∥FA，即可证明FA∥平面BDQ
（Ⅲ）利用体积关系可得高的关系，即可求

CF

CQ

的值．

解答： （Ⅰ）证明：因为E是AD的中点，FA=FD，所以AD⊥FE
因为侧面ABCD是菱形，∠BAD=60°，所以AB=BD，
又因为E是AD的中点，所以AD⊥BE，
因为FE∩BE=E，所以AD⊥平面EFB…..（4分）
（Ⅱ）证明：连接AC交BD于点O，连结OQ．
因为O是AC中点，Q是FC的中点，
所以OQ为△FAC的中位线，
所以OQ∥FA，
因为FA?平面BDQ，OQ?平面BDQ，
所以FA∥平面BDQ…．（8分）
（Ⅲ）解：设四棱锥F-BCDE，Q-ABCD的高分别为h₁，h₂，
所以V_F-BCDE=

1

3

SBCDEh1，VQ-ABCD=

1

3

SABCDh2
因为V_F-BCDE=2V_Q-ABCD，且底面积SBCDE=

3

4

SABCD
所以

h1

h2

=

8

3

，
因为

h1

h2

=

CF

CQ

，
所以

CF

CQ

=

8

3

…（12分）

点评：本题考查线面垂直，考查线面平行，考查体积的计算，解题的关键是掌握线面垂直、线面平行的判定，属于中档题．