Question

已知函数f(x)=k2x4-

2

3

x3-kx2+2x，是否存在实数k，使函数在（1，2）上递减，在（2，+∞）上递增？若存在，求出所有k值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的概念及应用

分析：由k=

1

2

f'（x）=4k²x³-2x²-2kx+2，令f′（2）=0，得k=-

3

8

，k=

1

2

，经过检验得出结论．

解答： 解：存在   
∵k=

1

2

f'（x）=4k²x³-2x²-2kx+2
令f′（2）=0，得k=-

3

8

，k=

1

2

，
当k=-

3

8

时，在（1，2）上有f′（

3

2

）＞0，不符题意，舍；
k=

1

2

时，f'（x）=x³-2x²-x-+2=（x+1）（x-1）（x-2）
在（1，2）上f'（x）＜0，在（2，+∞）上f'（x）＞0
即函数在（1，2）上递减，在（2，+∞）上递增，
 所以k=

1

2

．

点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，是一道基础题．