Question

如图，ABCD是长方形海域，其中AB=10海里，AD=10

2

海里．现有一架飞机在该海域失事，两艘海事搜救船在A处同时出发，沿直线AP、AQ向前联合搜索，且∠PAQ=

π

4

（其中P、Q分别在边BC、CD上），搜索区域为平面四边形APCQ围成的海平面．设∠PAB=θ，搜索区域的面积为S． 
（1）试建立S与tanθ的关系式，并指出tanθ的取值范围；
（2）求S的最大值，并指出此时θ的值．

Answer 1

考点：解三角形的实际应用

专题：解三角形

分析：（1）先分别求得△APB和△ADQ的面积，进而根据作差表示出S并根据图象求得tanθ的取值范围．
（2）利用基本不等式求得S的最小值，并求得取得等号时tanθ的值．

解答： 解：（1）在Rt△APB中，BP=10tanθ，S△ABP=

1

2

×10×10tanθ=50tanθ
在Rt△ADQ中，DQ=10

2

tan(

π

4

-θ)，S△ADQ=

1

2

×10

2

×10

2

tan(

π

4

-θ)=100tan(

π

4

-θ)
∴S=100

2

-50tanθ-100tan(

π

4

-θ)=100

2

-50tanθ-100×

1-tanθ

1+tanθ

，
其中

0≤tanθ≤1 0≤tan( π 4 -θ)≤ 2 2

，解得：3-2

2

≤tanθ≤1
∴S=100

2

-50tanθ-100×

1-tanθ

1+tanθ

，3-2

2

≤tanθ≤1．
（2）∵tanθ＞0，S=100

2

-50(tanθ+2×

1-tanθ

1+tanθ

)=100

2

-50(tanθ+1+

4

tanθ+1

-3)≤100

2

-50(2

(tanθ+1)• 4 tanθ+1

-3)=100

2

-50，
当且仅当tanθ+1=

4

tanθ+1

时取等号，亦即tanθ=1时，Smax=100

2

-50
∵θ∈(0，

π

2

)，
∴θ=

π

4

答：当θ=

π

4

时，S有最大值100

2

-50．

点评：本题主要考查了解三角形实际应用的问题，利用基本不等式求最值．注重对学生综合素质的考查．