Question

已知函数g（x）=

1

6

x³+

1

2

（a-2）x²，h（x）=2alnx，f（x）=g′（x）-h（x）．
（1）当a∈R时，讨论函数f（x）的单调性．
（2）是否存在实数a，对任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，都有

f(x2)-f(x1)

x1-x2

＞a恒成立，若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）先根据条件求出f（x），要讨论f（x）的单调性，求导数即可，注意把导函数写成这样的形式：f′（x）=

(x-2)(x+a)

x

，这样便于讨论a判断单调性．
（2）先假设存在实数a，x₁≠x₂，所以可设x₁＜x₂，由

f(x2)-f(x1)

x1-x2

能得到：f（x₂）+ax₂＜f（x₁）+ax₁，根据单调性的定义，让函数f（x）+ax在（0，+∞）上是增函数，那就只要这个函数在（0，+∞）上的导数大于零即可．这样来寻找a是否存在即可．

解答： 解：（1）f′（x）=

(x-2)(x+a)

x

，f（x）的定义域为（0，+∞）；
①当a＞0时，f（x）在（0，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数；
②当-2＜a≤0时，f（x）在（0，-a）上是增函数；在（-a，2）是减函数；在（2，+∞）上是增函数；
③当a=-2时，f（x）在（0，+∞）上是增函数；
④当a＜-2时，f（x）在（0，2）上是增函数；在（2，-a）上是减函数；在（-a，+∞）上是增函数． 
（2）假设存在实数a，对任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，都有

f(x2)-f(x1)

x1-x2

＞a恒成立，不妨设0＜x₁＜x₂，要使

f(x2)-f(x1)

x1-x2

＞a，即f（x₂）+ax₂＜f（x₁）+ax．
令g（x）=f（x）+ax=

1

2

x2-2alnx-2x+2ax，只要g（x）在（0，+∞）上为增函数．
g′(x)=x+2(a-1)-

2a

x

=

x2+2(a-1)x-2a

x

，所以只要x²+2（a-1）x-2a＞0；
令x²+2（a-1）x-2a=0，∵△=4（a²+）＞0，∴该方程有两个不相等实根，要使g（x）在（0，+∞）上为增函数，则：

-2(a-1)+ 4(a-1)2+8a

2

=

a2+1

-(a-1)≤0，∵

a2+1

＞|a|＞a-1，所以

a2+1

-(a-1)＞0；
所以符合条件的a不存在．

点评：第一问利用求导数判断函数单调性，是判断函数单调性时常用方法，而要注意的是将求出的f′（x）写成因式乘积的形式，便于讨论f′（x）的符号．而第二问需注意的是，构造函数g（x）=f（x）+ax，让函数g（x）在（0，+∞）上单调递增即可．