Question

曲线C₁的参数方程为

x=cosθ y=sinθ

（θ为参数），将曲线C₁上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的

3

倍，得到曲线C₂．以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ（cosθ-2sinθ）=6．
（1）求曲线C₂和直线l的普通方程；
（2）P为曲线C₂上任意一点，求点P到直线l的距离的最值．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（Ⅰ）把C₂的参数方程利用同角三角函数的基本关系消去参数，化为直角坐标方程；把直线l的极坐标方程根据x=ρcosθ、y=ρsinθ化为直角坐标方程．
（Ⅱ）设点P（2cosθ，

3

sinθ），由点到直线的距离公式得点P到直线l的距离为d=

5

5

[6+4sin（θ-

π

6

）]，根据正弦函数的值域求得点P到直线l的距离的最大值和最小值．

解答： 解：（Ⅰ）由题意可得C₂的参数方程为

x=2cosθ y= 3 sinθ

（θ为参数），即C₂：

x2

4

+

y2

3

=1，
直线l：ρ（cosθ-2sinθ）=6，化为直角坐标方程为 x-2y-6=0．
（Ⅱ）设点P（2cosθ，

3

sinθ），由点到直线的距离公式得点P到直线l的距离为
d=

|2cosθ-2 3 sinθ-6|

5

=

|6+4( 3 2 sinθ- 1 2 cosθ)|

5

=

|6+4sin(θ- π 6 )|

5

=

5

5

[6+4sin（θ-

π

6

）]．
∴

2 5

5

≤d≤2

5

，故点P到直线l的距离的最大值为2

5

，最小值为

2 5

5

．

点评：题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，正弦函数的值域，属于基础题．