Question

等差数列{a_n}首项为a₁=2，公差不为0，且a₁、a₃、a₇成等比数列，数列{b_n}的前n项和为T_n，且T_n=a_n²．
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若c_n=2^n-1（b_n-1），求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件利用等差数列通项公式和等比数列性质，求出公差，由此能求出a_n=n+1，再由数列{b_n}的前n项和为T_n，且T_n=a_n²=（n+1）²，能求出bn=

4，n=1 2n+1，n≥2

．
（2）由c_n=2^n-1（b_n-1），能求出S₁=3；n≥2时，c_n=2^n-1（b_n-1）=n•2ⁿ，利用错位相减法能求出数列{c_n}的前n项和S_n．

解答： 解：（1）∵等差数列{a_n}首项为a₁=2，公差不为0，且a₁、a₃、a₇成等比数列，
∴（2+2d）²=2（2+6d），
解得d=1，或d=0（舍），
∴a_n=2+（n-1）×1=n+1，
∵数列{b_n}的前n项和为T_n，且T_n=a_n²=（n+1）²，
∴b1=(1+1)2=4，
b_n=T_n-T_n-1=（n+1）²-n²=2n+1，
n=1时，2n+1=3≠b₁，
∴bn=

4，n=1 2n+1，n≥2

．
（2）∵c_n=2^n-1（b_n-1），
∴c₁=2⁰•（4-1）=3，S₁=3；
n≥2时，c_n=2^n-1（b_n-1）=n•2ⁿ，
Sn=3+2•22+3•23+…+n•2n，①
2S_n=6+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，②
①-②，得：-S_n=-3+8+2³+2⁴+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=5+

8(1-2n-2)

1-2

-n•2ⁿ⁺¹
=-（n-1）•2ⁿ⁺¹-3，
∴Sn=(n-1)•2n+1+3．
n=1时也成立，
∴Sn=(n-1)•2n+1+3．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．