Question

已知等比数列{a_n}的各项均为正数，a₁=2，a_na_n+1=m•4ⁿ，n∈N^*，
（1）求m的值及数列{a_n}的通项公式；
（2）是否存在等差数列{b_n}，使得a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（3n-4）•2ⁿ⁺¹+8对任意n∈N^*都成立？若存在，求出数列{b_n}的通项公式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）先求出公比，即可求出数列{a_n}的通项公式，从而求出m的值；
（2）先猜想，再用数学归纳法进行证明．

解答： 解：（1）设an=2qn-1(q＞0)，则

an+2

an

=

an+1an+2

anan+1

=q2=4，
∴q=2，∴an=2n，
anan+1=m•4n=22n+1=2•4n，∴m=2．…（5分）
（2）存在等差数列b_n=3n-1，使得a1b1+a2b2+…+anbn=(3n-4)•2n+1+8对任意n∈N^*都成立．…（7分）
下面用数学归纳法证明：
（i）当n=1时，等式左边=a₁b₁=4，等式右边=（3-4）•2²+8=4，所以等式成立．…（8分）
（ii）假设当n=k时等式成立，即a1b1+a2b2+…+akbk=(3k-4)•2k+1+8，…（9分）
则a1b1+a2b2+…+akbk+ak+1bk+1=(3k-4)•2k+1+8+(3k+2)•2k+1
=（3k-1）•2^k+2+8=[3（k+1）-4]•2^（k+1）+2+8…（11分）
这就是说，当n=k+1时，等式也成立．
综上（i）（ii）可知，等式对一切n∈N^*都成立．故存在等差数列{b_n}，使得a1b1+a2b2+…+anbn=(3n-4)•2n+1+8对任意n∈N^*都成立．…（12分）

点评：本题目主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式，考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．