Question

在数列{a_n}，{b_n}是各项均为正数的等比数列，设cn=

bn

an

(n∈N*)．
（Ⅰ）数列{c_n}是否为等比数列？证明你的结论；
（Ⅱ）设数列{lna_n}，{lnb_n}的前n项和分别为S_n，T_n．若a₁=2，

Sn

Tn

=

n

2n+1

，求数列{c_n}的前n项和．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设|a_n|的公比为q₁，|b_n|的公比为q₂，根据cn=

bn

an

进而可得

cn+1

cn

化简得

q2

q1

进而可证明|c_n|为等比数列．
（Ⅱ）根据数列{a_n}，{b_n}是各项均为正数的等比数列，可推断数列{lna_n}，{lnb_n}为等差数列．进而可求得S_n和T_n代入

Sn

Tn

=

n

2n+1

，可求得q₁，q₂=16和b₁=8．代入cn=

bn

an

即可得到数列{c_n}的通项公式，结果发现数列{c_n}是以4为首项，4为公比的等比数列，进而根据等比数列的求和公式可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）{c_n}是等比数列．
证明：设{a_n}的公比为q₁（q₁＞0），{b_n}的公比为q₂（q₂＞0），
则

cn+1

cn

=

bn+1

an+1

•

an

bn

=

bn+1

bn

•

an

an+1

=

q2

q1

≠0，故{c_n}为等比数列．
（Ⅱ）数列{lna_n}和{lnb_n}分别是公差为lnq₁和lnq₂的等差数列．
由条件得

nlna1+ n(n-1) 2 lnq1

nlnb1+ n(n-1) 2 lnq2

=

n

2n+1

，即

2lna1+(n-1)lnq1

2lnb1+(n-1)lnq2

=

n

2n+1

．
故对n=1，可得

lna1

lnb1

=

1

3

，又a₁=2，可得b₁=8，
于是

2lna1+(n-1)lnq1

2lnb1+(n-1)lnq2

=

n

2n+1

可变为
（2lnq₁-lnq₂）n²+（4lna₁-lnq₁-2lnb₁+lnq₂）n+（2lna₁-lnq₁）=0对任意的正整数n恒成立
于是

2lnq1-lnq2=0 4lna1-lnq1-2lnb1+lnq2=0 2lna1-lnq1=0.

将a₁=2代入得q₁=4，q₂=16，b₁=8．
从而有cn=

8•16n-1

2•4n-1

=4n．所以数列{c_n}的前n项和为4+42+…+4n=

4

3

(4n-1)．

点评：本小题主要考查等差数列，等比数列，对数等基础知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力．