Question

函数y=f（x）在区间（0，+∞）内可导．导函数f^′（x）是减函数，且f^′（x）＞0，x₀∈（0，+∞）．g（x）=kx+m是y=f（x）在点（x₀，f（x₀））处的切线方程．
（1）用x₀，f（x₀），f^′（x₀）表示m；
（2）证明：当x∈（0，+∞）时，g（x）≥f（x）；
（3）若关于x的不等式x2+1≥ax+b≥

3

2

x

2

3

在（0，+∞）上恒成立，其中a，b为实数，求b的取值范围及a，b所满足的关系．

Answer 1

分析：（1）先利用点斜式表示出切线方程，然后根据切线方程与y=kx+m是同一直线建立等式关系，求出m即可；
（2）比较g（x）与f（x）的大小可利用作差比较，构造函数h（x）=g（x）-f（x），然后利用导数研究函数h（x）的单调性，求出函数h（x）的最小值，即可证得结论．
（3）把ax移到两边，再求最值，即可得出b的取值范围及a，b所满足的关系

解答：解：（1）y-f（x₀）=f'（x₀）（x-x₀）
∴m=f（x₀）-x₀f'（x₀）．
（2）证明：令h（x）=g（x）-f（x），则h'（x）=f'（x₀）-f'（x），h'（x₀）=0．
因为f'（x）递减，所以h'（x）递增，因此，当x＞x₀时，h'（x）＞0；
当x＜x₀时，h'（x）＜0．所以x₀是h（x）唯一的极值点，且是极小值点，
可知h（x）的最小值为0，因此h（x）≥0，即g（x）≥f（x）．
（3）把ax移到两边得x2+1-ax≥b≥

3

2

x

2

3

-ax
令y₁=x²+1-ax，y2=

3

2

x

2

3

-ax则

y

/ 2

=x-

1

3

-a
①

a

2

＜0时，（y₁）_min=1，（y₂）_max=0，∴1≥b≥0
②

a

2

≥0时，(y1) min=1-

a2

4

，(y2) max=

1

2a2

，
∴1-

a2

4

≥b≥

1

2a2

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．