【题目】如图,在梯形ABCD中,AB∥DC,AD=AB=BC=1, ,平面ACFE⊥平面ABCD,四边形ACFE是矩形,AE=1,点M在线段EF上.
(1)当 为何值时,AM∥平面BDF?证明你的结论;
(2)求二面角B﹣EF﹣D的平面角的余弦值.
【答案】
(1)解:当 时,AM∥平面BDF.
证明如下:
在梯形ABCD中,设AC∩BD=O,连接FO,
因为AD=BC=1,∠ADC=60°,
所以DC=2,又AB=1,
因为△AOB∽△CDO,
因此CO:AO=2:1,
所以 ,因为ACFE是矩形,
所以四边形AOFM是平行四边形,
所以AM∥OF,
又OF平面BDF,AM平面BDF,
所以AM∥平面BDF
(2)解:在平面ABCD内过点C作GC⊥CD,
因为平面ACFE⊥平面ABCD,且交线为AC,
则CF⊥平面ABCD,即CF⊥GC,CF⊥DC,
以点C为原点,分别以CD,CG,CF所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
则 ,D(2,0,0),
,F(0,0,1),
所以 ,
,
,
,
设平面BEF的法向量为 ,则
,
∴ ,取
,
同理可得平面DEF的法向量 ,
所以 ,
因为二面角B﹣EF﹣D是锐角,所以其余弦值是 .
【解析】(1)当 时,设AC∩BD=O,连接FO,推导出四边形AOFM是平行四边形,从而AM∥OF,由此能证明AM∥平面BDF.(2)在平面ABCD内过点C作GC⊥CD,以点C为原点,分别以CD,CG,CF所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角B﹣EF﹣D的余弦值.
【考点精析】掌握直线与平面平行的判定是解答本题的根本,需要知道平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行;简记为:线线平行,则线面平行.
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【题目】大学开设甲、乙、丙三门选修课供学生任意选修(也可不选),假设学生是否选修哪门课彼此互不影响.已知某学生只选修甲一门课的概率为0.08,选修甲和乙两门课的概率为0.12,至少选修一门的概率是0.88.
(1)求该学生选修甲、乙、丙的概率分别是多少?
(2)用ξ表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积,求ξ的分布列和数学期望.
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【题目】如甲图所示,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E是CD的中点,将△ADE沿AE折起到△D1AE位置,使平面D1AE⊥平面ABCE,得到乙图所示的四棱锥D1﹣ABCE.
(Ⅰ)求证:BE⊥平面D1AE;
(Ⅱ)求二面角A﹣D1E﹣C的余弦值.
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【题目】已知函数f(x)=9x﹣2a3x+3:
(1)若a=1,x∈[0,1]时,求f(x)的值域;
(2)当x∈[﹣1,1]时,求f(x)的最小值h(a);
(3)是否存在实数m、n,同时满足下列条件:①n>m>3;②当h(a)的定义域为[m,n]时,其值域为[m2 , n2],若存在,求出m、n的值,若不存在,请说明理由.
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【题目】已知无穷数列{an}的各项都是正数,其前n项和为Sn , 且满足:a1=a,rSn=anan+1﹣1,其中a≠1,常数r∈N;
(1)求证:an+2﹣an是一个定值;
(2)若数列{an}是一个周期数列(存在正整数T,使得对任意n∈N* , 都有an+T=an成立,则称{an}为周期数列,T为它的一个周期,求该数列的最小周期;
(3)若数列{an}是各项均为有理数的等差数列,cn=23n﹣1(n∈N*),问:数列{cn}中的所有项是否都是数列{an}中的项?若是,请说明理由,若不是,请举出反例.
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【题目】已知函数f(x)=|x+2|﹣|x﹣2|+m(m∈R).
(Ⅰ)若m=1,求不等式f(x)≥0的解集;
(Ⅱ)若方程f(x)=x有三个实根,求实数m的取值范围.
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【题目】如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=AC=CC1 , 平面BAC1⊥平面ACC1A1 , ∠ACC1=∠BAC1=60°,AC1∩A1C=O.
(Ⅰ)求证:BO⊥平面AA1C1C;
(Ⅱ)求二面角A﹣BC1﹣B1的余弦值.
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【题目】已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,|φ|< )的图象在 y轴左侧的第一个最高点为(﹣
,3),第﹣个最低点为(﹣
,m),则函数f(x)的解析式为( )
A.f(x)=3sin( ﹣2x)
B.f(x)=3sin(2x﹣ )
C.f(x)=3sin( ﹣2x)
D.f(x)=3sin(2x﹣ )
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【题目】已知函数f(x)=lnx(x>0).
(Ⅰ)求证:f(x)≥1﹣ ;
(Ⅱ)设g(x)=x2f(x),且关于x的方程x2f(x)=m有两个不等的实根x1 , x2(x1<x2).
(i)求实数m的取值范围;
(ii)求证:x1x22< .
(参考数据:e=2.718, ≈0.960,
≈1.124,
≈0.769,ln2≈0.693,ln2.6≈0.956,ln2.639≈0.970.注:不同的方法可能会选取不同的数据)
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