Question

【题目】如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=CC1 ， 平面BAC1⊥平面ACC1A1 ， ∠ACC1=∠BAC1=60°，AC1∩A1C=O．
（Ⅰ）求证：BO⊥平面AA1C1C；
（Ⅱ）求二面角A﹣BC1﹣B1的余弦值．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）依题意，四边形AA1C1C为菱形，且∠AA1C1=60° ∴△AA1C1为正三角形，又∠BAC1=60°，
∴△BAC1为正三角形，又O为AC1中点，
∴BO⊥AC1 ，
∵平面ABC1⊥平面AA1C1C，平面ABC1∩平面AA1C1C=AC1 ，
∵BO平面AA1CC1 ， ∴BO⊥平面AA1C1C．
解：（Ⅱ）以O为坐标原点，建空间直角坐标系，如图，
令AB=2，则 ，C1（0，1，0）
∴ ，
设平面BB1C1的一个法向量为 ，
由 得 ，
取z=1，得
又面ABC1的一个法向量为
∴
故所求二面角的余弦值为

【解析】（Ⅰ）推导出BO⊥AC1 ， 由此利用平面ABC1⊥平面AA1C1C，能证明BO⊥平面AA1C1C．（Ⅱ）以O为坐标原点，建空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面垂直的判定的相关知识，掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．