练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    探究函数f(x)=2x+
    8
    x
    ，x∈(0，+∞)    的最小值，并确定取得最小值时x的值．列表如下：
    x … 0.5 1 1.5 1.7 1.9 2 2.1 2.2 2.3 3 4 5 7 …
    y … 16 10 8.34 8.1 8.01 8 8.01 8.04 8.08 8.6 10 11.6 15.14 …
    请观察表中y值随x值变化的特点，完成以下的问题．
    （1）函数f(x)=2x+
    8
    x
    (x＞0)    在区间（0，2）上递减；函数f(x)=2x+
    8
    x
    (x＞0)    在区间
    （2，+∞）
    （2，+∞）
    上递增．当x=
    2
    2
    时，y最小=
    4
    4
    ．
    （2）证明：函数f(x)=2x+
    8
    x
    (x＞0)    在区间（0，2）递减．
    （3）思考：函数f(x)=2x+
    8
    x
    (x＜0)    时，有最值吗？是最大值还是最小值？此时x为何值？（直接回答结果，不需证明）
    分析：（1）利用基本不等式，可得当且仅当x=2时，函数f(x)=2x+
    8
    x
    的最小值为8．由此可得函数在（0，+∞）上的单调增区间，得到答案；
    （2）设x1、x2∈（0，2）且x1＜x2，利用作差、因式分解、判断符号的方法加以证明可得f（x1）＞f（x2），结合函数单调性的定义，可得函数在（0，2）上为减函数；
    （3）根据函数在（0，+∞）上的单调性与最值，结合函数在{x|x≠0}上为奇函数，即可得到当x＜0时函数有最大值为-4．
    解答：解：（1）∵x＞0，∴2x+
    8
    x
    ≥2
    		2x•
    8
    x
    =8
    当且仅当x=2时，函数f(x)=2x+
    8
    x
    的最小值为8
    由此可得函数在区间（0，2）上递减；在区间（2，+∞）上递增
    故答案为：（2，+∞），2，4．…（4分）
    （2）证明：设x1，x2是区间（0，2）上的任意两个数，且x1＜x2，可得
    f(x1)-f(x2)=2x1+
    8
    x1
    -(2x2+
    8
    x2
    )
    =2(x1-x2)+
    8
    x1
    -
    8
    x2
    =2(x1-x2)(1-
    4
    x1x2
    )
    =
    2(x1-x2)(x1x2-4)
    x1x2

    ∵x1＜x2且x1，x2∈（0，2），可得x1-x2＜0，x1x2-4＜0，
    ∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）
    由此可得函数在（0，2）上为减函数．（10分）
    （3）根据函数在{x|x≠0}上为奇函数，且在（0，+∞）上有最小值4，可得如下结论：
    函数y=x+
    4
    x
    ，当x＜0时，有最大值
    当x=-2时，ymax=-4．（12分）
    点评：本题给出双曲型函数，求函数的单调区间与最值．着重考查了基本不等式求最值、用定义证明函数的单调性等知识，属于中档题．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    探究函数f(x)=x+
    4
    x
    ，x∈(0，+∞)    的最小值，并确定取得最小值时x的值．列表如下：
    x … 0.5 1 1.5 1.7 1.9 2 2.1 2.2 2.3 3 4 5 7 …
    y … 8.5 5 4.17 4.05 4.005 4 4.005 4.002 4.04 4.3 5 5.8 7.57 …
    请观察表中y值随x值变化的特点，完成以下的问题．
    （1）函数f(x)=x+
    4
    x
    (x＞0)    在区间（0，2）上递减，函数f(x)=x+
    4
    x
    (x＞0)    在区间
     
    上递增；
    （2）函数f(x)=x+
    4
    x
    (x＞0)    ，当x=
     
    时，y最小=
     
    ；
    （3）函数f(x)=x+
    4
    x
    (x＜0)    时，有最值吗？是最大值还是最小值？此时x为何值？（直接回答结果，不需证明）

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    探究函数f(x)=x+
    4
    x
    ，x∈（0，+∞）的最小值，并确定相应的x的值，列表如下：
    x …
    1
    4
    1
    2
    		 1
    3
    2
    		 2
    8
    3
    		 4 8 16 …
     y … 16.25 8.5 5
    25
    6
    		 4
    25
    6
    		 5 8.5 16.25 …
    请观察表中y值随x值变化的特点，完成下列问题：
    （1）若x1x2=4，则f（x1）
    =
    =
    f（x2）（请填写“＞，=，＜”号）；若函数f(x)=x+
    4
    x
    ，（x＞0）在区间（0，2）上递减，则在区间
    （2，+∞）
    （2，+∞）
    上递增；
    （2）当x=
    2
    2
    时，f(x)=x+
    4
    x
    ，（x＞0）的最小值为
    4
    4
    ；
    （3）试用定义证明f(x)=x+
    4
    x
    ，在区间（0，2）上单调递减．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    在探究函数f(x)=x3+
    3
    x
    ，x∈(-∞，0)∪(0，+∞)    的最值中，
    （1）先探究函数y=f（x）在区间（0，+∞）上的最值，列表如下：
    x … 0.1 0.2 0.5 0.7 0.9 1 1.1 1.2 1.3 2 3 4 5 …
    y … 30.00 15.01 6.13 4.63 4.06 4 4.06 4.23 4.50 9.50 28 64.75 125.6 …
    观察表中y值随x值变化的趋势，知x=
    1
    1
    时，f（x）有最小值为
    4
    4
    ；
    （2）再依次探究函数y=f（x）在区间（-∞，0）上以及区间（-∞，0）∪（0，+∞）上的最值情况（是否有最值？是最大值或最小值？），请写出你的探究结论，不必证明；
    （3）请证明你在（1）所得到的结论是正确的．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    探究函数f(x)=x+
    4
    x
    ，x∈(0，+∞)    的最小值，并确定取得最小值时x的值．列表如表：
    x … 0.5 1 1.5 1.7 1.9 2 2.1 2.2 2.3 3 4 5 7 …
    y … 8.5 5 4.17 4.05 4.005 4 4.005 4.002 4.04 4.3 5 4.8 7.57 …
    （1）根据上表判断函数f(x)=x+
    4
    x
    (x＞0)    在区间（0，2）上的单调性并给出证明；
    （2）函数f(x)=x+
    4
    x
    (x＞0)    在区间上（2，+∞）单调性如何？（不需证明）求出函数f(x)=x+
    4
    x
    ，x∈(0，+∞)    的最小值及相应x的值．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案