Question

探究函数f(x)=x+

4

x

，x∈（0，+∞）的最小值，并确定相应的x的值，列表如下：

x	…	1 4	1 2	1	3 2	2	8 3	4	8	16	…
y	…	16.25	8.5	5	25 6	4	25 6	5	8.5	16.25	…

请观察表中y值随x值变化的特点，完成下列问题：
（1）若x₁x₂=4，则f（x₁）

=

f（x₂）（请填写“＞，=，＜”号）；若函数f(x)=x+

4

x

，（x＞0）在区间（0，2）上递减，则在区间

（2，+∞）

上递增；
（2）当x=

2

时，f(x)=x+

4

x

，（x＞0）的最小值为

4

；
（3）试用定义证明f(x)=x+

4

x

，在区间（0，2）上单调递减．

Answer 1

分析：（1）根据x₁x₂=4，将x₁=

4

x2

代入函数解析式，可得结论，根据表中y值随x值变化的特点可得函数的增区间；
（2）根据表中y值随x值变化的特点可得函数的最值；
（3）证明单调性的步骤：取值、作差、变形、定号、下结论，设0＜x₁＜x₂＜2，然后判定f（x₁）与f（x₂）的大小，属于中档题．

解答：解：（1）∵x₁x₂=4，f（x₁）=f（

4

x2

）=x₂+

4

x2

=f（x₂）
故答案为：=，（2，+∞） （左端点可以闭）     …（2分）
（2）根据（1）可知x=2时，y_min=4           …（6分）
（3）设0＜x₁＜x₂＜2，则f（x₁）-f（x₂）=(x1+

4

x1

)-(x2+

4

x2

)=(x1-x2)+(

4

x1

-

4

x2

)
=(x1-x2)+

4x2-4x1

x1x2

=(x1-x2)(

x1x2-4

x1x2

)…（9分）
∵0＜x₁＜x₂＜2∴x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜4∴x₁x₂-4＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0∴f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在区间（0，2）上递减              …（12分）

点评：本题主要考查了函数的最值及其几何意义，以及函数单调性的判断与证明，同时考查了计算能力，属于中档题．