Question

探究函数f(x)=x+

4

x

，x∈(0，+∞)的最小值，并确定取得最小值时x的值．列表如表：

x	…	0.5	1	1.5	1.7	1.9	2	2.1	2.2	2.3	3	4	5	7	…
y	…	8.5	5	4.17	4.05	4.005	4	4.005	4.002	4.04	4.3	5	4.8	7.57	…

（1）根据上表判断函数f(x)=x+

4

x

(x＞0)在区间（0，2）上的单调性并给出证明；
（2）函数f(x)=x+

4

x

(x＞0)在区间上（2，+∞）单调性如何？（不需证明）求出函数f(x)=x+

4

x

，x∈(0，+∞)的最小值及相应x的值．

Answer 1

分析：（1）当0＜x＜2时，利用f′（x）＜0，可得函数在区间（0，2）上是减函数．
（2）当x＞2时，求得 f′（x）＞0，可得函数在区间（2，+∞）上是增函数．再根据f（x）在区间（0，2）上是减函数，在区间（2，+∞）上是增函数，可得当x=2时，函数取得最小值．

解答：解：（1）根据上表判断函数f(x)=x+

4

x

(x＞0)在区间（0，2）上是减函数．
证明：当0＜x＜2时，
∵f′（x）=1+

0-4

x2

=1-

4

x2

＜0，即 f′（x）＜0，
∴函数f(x)=x+

4

x

(x＞0)在区间（0，2）上是减函数．
（2）当x＞2时，
∵f′（x）=1+

0-4

x2

=1-

4

x2

＞0，即 f′（x）＞0，
∴函数f(x)=x+

4

x

(x＞0)在区间（2，+∞）上是增函数．
综上可得，f（x）在区间（0，2）上是减函数，在区间（2，+∞）上是增函数，
故当x=2时，函数取得最小值为4．

点评：本题主要考查函数的单调性的判断和证明，导数与函数的单调性的关系，属于基础题．