Question

已知圆C的圆心在坐标原点，且与直线l₁：x-y-2

2

=0相切．
（1）求直线l₂：4x-3y+5=0被圆C所截得的弦AB的长；
（2）过点G（1，3）作两条与圆C相切的直线，切点分别为M，N，求直线MN的方程；
（3）若与直线l₁垂直的直线l过点R（1，-1），且与圆C交于不同的两点P，Q．若∠PRQ为钝角，求直线l的纵截距的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）先求出圆C的标准方程，再求直线l₂：4x-3y+5=0被圆C所截得的弦AB的长；
（2）求出以G点为圆心，线段GM长为半径的圆G方程，与圆C的标准方程相减，即可求直线MN的方程．
（3）设直线的方程为：y=-x+b联立x²+y²=4，∠PRQ为钝角，所以

RP

•

RQ

＜0，当

RP

与

RQ

反向共线时，直线y=-x+b过（1，-1），此时b=0，不满足题意，即可求出直线l纵截距的取值范围．

解答： 解：（1）由题意得：圆心（0，0）到直线l1：x-y-2

2

=0的距离为圆的半径，r=

2 2

2

=2，
所以圆C的标准方程为：x²+y²=4（2分）
所以圆心到直线l₂的距离d=

22-3

=1（3分），
∴|AB|=2

22-12

=2

3

（4分）
（2）因为点G（1，3），所以|OG|=

12+32

=

10

，|GM|=

OG2-OM2

=

6

所以以G点为圆心，线段GM长为半径的圆G方程：（x-1）²+（y-3）²=6①
又圆C方程为：x²+y²=4②，由①-②得直线MN方程：x+3y-4=0（8分）
（3）设直线l的方程为：y=-x+b联立x²+y²=4得：2x²-2bx+b²-4=0，
设直线l与圆的交点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由△=（-2b）²-8（b²-4）＞0，得b²＜8，x1+x2=b，x1•x2=

b2-4

2

③（10分）
因为∠PRQ为钝角，所以

RP

•

RQ

＜0，
即满足（x₁-1）（x₂-1）+（y₁+1）（y₂+1）＜0，且

RP

与

RQ

不是反向共线，
又y₁=-x₁+b，y₂=-x₂+b，
所以(x1-1)(x2-1)+(y1+1)(y2+1)=2x1x 2-(b+2)(x1+x2)+b2+2b+2＜0④
由③④得b²＜2，满足△＞0，即-

2

＜b＜

2

，（12分）
当

RP

与

RQ

反向共线时，直线y=-x+b过（1，-1），此时b=0，不满足题意，
故直线l纵截距的取值范围是-

2

＜b＜

2

，且b≠0（14分）

点评：本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查圆与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．