Question

设a,b∈R，且a≠2,定义在区间（-b,b）内的函数f(x)=是奇函数.

（1）求b的取值范围；

（2）讨论函数f(x)的单调性.

Answer 1

（1）b的取值范围是（0, ］（2）f(x)在（-b,b)内是减函数，具有单调性.

解析:

（1）f(x)=lg (-b＜x＜b)是奇函数等价于：

对任意x∈(-b,b)都有

①式即为=，由此可得

,也即a²x²=4x²,此式对任意x∈(-b,b)都成立相当于a²=4,因为a≠2,所以a=-2，代入②式，得＞0,即-＜x＜,此式对任意x∈(-b,b)都成立相当于-≤-b＜b≤,

所以b的取值范围是（0, ］.

（2）设任意的x₁,x₂∈(-b,b)，且x₁＜x₂,

由b∈（0，］，得-≤-b＜x₁＜x₂＜b≤,

所以0＜1-2x₂＜1-2x₁,0＜1+2x₁＜1+2x₂,

从而f(x₂)-f(x₁)=

因此f(x)在（-b,b)内是减函数，具有单调性.