Question

已知数列{a_n}的通项公式an=

1

(n+1)2

，记f（n）=（1-a₁）（1-a₂）（1-a₃）…（1-a_n），通过计算f（1），f（2），f（3），f（4）的值，猜想f（n）的值为（　　）

• A．

  2n-1

  (n+1)2

• B．

  n+2

  n(n+1)

• C．

  n+2

  n+1

• D．

  n+2

  2(n+1)

Answer 1

分析：先根据数列的f（n）=（1-a₁）（1-a₂）（1-a₃）…（1-a_n），求得f（1），f（2），f（3），f（4），可知分母和分子分别是等差数列进而可猜想出f（n）的值．

解答：解：a₁=

1

4

，f（1）=1-a₁=

3

4

；
a₂=

1

9

，f（2）=

3

4

×

8

9

=

2

3

；
a₃=

1

16

，f（3）=

2

3

×

15

16

=

5

8

．
…
由于f（1）=1-a₁=

3

4

=

1+2

2(1+1)

；
f（2）=

3

4

×

8

9

=

2

3

=

2+2

2(2+1)

；
f（3）=

2

3

×

15

16

=

5

8

=

3+2

2(3+1)

．
…
猜想f（n）的值为：f（n）=

n+2

2(n+1)

．
故选D．

点评：本题主要考查了归纳推理，考查了数列的通项公式．数列的通项公式是高考中常考的题型，涉及数列的求和问题，数列与不等式的综合等问题．