Question

【题目】某茶楼有四类茶饮，假设为顾客准备泡茶工具所需的时间互相独立，且都是整数分钟，经统计以往为100位顾客准备泡茶工具所需的时间（t），结果如下：

类别	铁观音	龙井	金骏眉	大红袍
顾客数（人）	20	30	40	10
时间t（分钟/人）	2	3	4	6

注：服务员在准备泡茶工具时的间隔时间忽略不计，并将频率视为概率．
（1）求服务员恰好在第6分钟开始准备第三位顾客的泡茶工具的概率；
（2）用X表示至第4分钟末已准备好了工具的顾客人数，求X的分布列及数学期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：设Y表示服务员准备工具所需的时间，用P表示概率，得Y的分布列如下；

Y	2	3	4	6
P

A表示事件“服务员在6分钟开始为第三位顾客准备泡茶工具”，则事件A对应两种情形：

①为第一位顾客准备泡茶工具所需的时间为2分钟，且为第二位所需的时间为3分钟；

②为第一位顾客所需的时间为3分钟，且为第一位顾客准备所需的时间为2分钟；

∴P（A）=P（Y=2）P（Y=3）+P（Y=3）P（Y=2）

= × + × =

（2）解：X的取值为0、1、2，

X=0时对应为第一位顾客准备所需的时间超过4分钟，

∴P（X=0）=P（Y＞4）= ；

X=1对应为第一位顾客所需的时间2分钟且为第二位顾客准备所需的时间超过2分钟，

或为第一位顾客准备所需的时间3分钟或为第一位顾客准备所需的时间4分钟，

∴P（X=1）=P（Y=2）P（Y＞2）+P（Y=3）+P（ Y=4）

= × + + = ；

X=2对应准备两位顾客泡茶工具的时间均为2分钟，

∴P（X=2）=P（Y=2）P（Y=2）= × = ；

∴X的数学期望是E（X）=0× +1× +2× =

【解析】（1）设Y表示服务员准备工具所需的时间，用P表示对应的概率，求出Y的分布列，计算“服务员在第6分钟开始为第三位顾客准备泡茶工具”的概率；（2）分析X的可能取值，求出X的分布列与数学期望．
【考点精析】认真审题，首先需要了解离散型随机变量及其分布列(在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列)．