Question

如图，在五棱锥S-ABCDE中，SA⊥底面ABCDE，SA=AB=AE=

3

，BC=DE=1，∠BAE=∠BCD=∠CDE=120°．
（1）证明：BC⊥平面SAB；
（2）求二面角B-SC-D的余弦值．

Answer 1

分析：（1）证明直线与平面垂直，关键要找到两条相交直线与之都垂直，由于△ABE是等腰三角形易得BC⊥BA．由SA⊥底面ABCDE，BC?底面ABCDE，得SA⊥BC，又SA∩BA=A，推出BC⊥平面SAB．
（2）以A为原点，AB、AD、AS所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，得到各向量的坐标，然后设出法向量的坐标，利用数量积为0 解得其法向量，利用公式可解得二面角B-SC-D的余弦值为-

3

4

解答：（1）证明：由题意，△ABE是等腰三角形，∠BAE=120°，所以∠ABE=30°．
又∠CBE=60°，∴∠ABC=90°，所以BC⊥BA．
∵SA⊥底面ABCDE，BC?底面ABCDE，
∴SA⊥BC，又SA∩BA=A，∴BC⊥平面SAB．（5分）
（2）解：由（1）得∠EAD=30°故∠BAD=90°，
以A为原点，AB、AD、AS所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系（如图），

则

SB

=(

3

，0，-

3

)，

SC

=(

3

，1，-

3

)，

SD

=(0，2，-

3

)，
设平面SBC的法向量为

m

=(x，y，z)，设平面SCD的法向量为

n

=(x1，y1，z 1)
由

m • SB = 3 x- 3 z=0 n •SC= 3 x+y- 3 z=0

?

x=z y=0

令z=1，则

m

=(1，0，1)，同理可求，

n

=(1，

3

，2)
∴cos(

m

，

n

)=

m • n

| m |•| n |

=

1+2

2 •2 2

=

3

4

，
∴二面角B-SC-D的余弦值为-

3

4

．（13分）

点评：本小题主要考查空间线面关系、二面角的度量等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是个中档题．